Набросал программу
"что нужно выучить студенту по геометрии".
Со специальным упором на реализм, то есть
без ориентации на матшкольников, которые
все равно по большей части повывелись.

* * *

Первый семестр - линейная алгебра.
Векторные пространства, базис, билинейные
формы, полилинейные формы, тензорное произведение,
алгебры Клиффорда, алгебры Грассмана, определитель.

Поскольку тензорное произведение и алгебры Грассманна -
ключ к геометрии, надо делать их центральным понятием
линейной алгебры, определять детерминант через
алгебру Грассмана, например.

Первый семестр - теория множеств.
Лемма Цорна. Вполне упорядоченные множества. Базис
Коши-Гамеля. Теорема Кантора-Бернштейна. Несчетность
множества вещественных чисел.

Первый семестр - топология.
Метрические пространства. Теоретико-множественная
топология (определение непрерывных отображений,
компактность, собственные отображения). Теорема
Гейне-Бореля. Пополнение (пополнение очень
интенсивно используется дважды: при
определении вещественных чисел, и при
определении меры Лебега, то есть на пополнение
необходимо прорешать огромный курс задач;
я давал моим студентам задачи на полноту
метрики Хаусдорфа и на теорему Хопфа-Ринова,
но это стоит оставить на выбор лектора).

Второй семестр - топология.
Произведение компактов. Теорема Тихонова.
Гильбертов куб и тихоновский куб. Топология
на пространстве отображений. Гомотопии,
фундаментальная группа, гомотопическая
эквивалентность, универсальное накрытие. Теорема
Нильсена-Шрейера, теорема Зейферта-ван Кампена.

Второй семестр - многомерный анализ.
Анализ на $R^n$. Дифференциал отображения. лемма о
сжимающем отображении. Теорема о неявной функции.
Гильбертовы, банаховы пространства.

Второй семестр - интегрирование.
Равносоставленность многоугольников и
многогранников, пополнение пространства
многогранников в метрике, заданной мерой
симметрической разности. Измеримость
открытых множеств. Теорема Фубини и
теорема Радона-Никодима. Функториальные
свойства меры и кратные интегралы.

Третий-четвертый семестр - дифференциальная геометрия.
Многообразия, разбиение единицы, векторные поля, ростки
функций, пучки, векторные расслоения, теорема Серра-Суона.
Дифференциальные формы, оператор де Рама,
теорема Стокса, производная Ли, диффеоморфизмы.
Связность, лапласиан, дифференциальные операторы
и их символы. Римановы многообразия, связность
Леви-Чивита, кручение и кривизна.

Замечание к предыдущему абзацу. Огромной
концептуальной трудностью для большинства
студентов является определение векторного
расслоения, без которого обойтись в геометрии
невозможно. Соответственно, лектору придется
провести половину времени, добиваясь от студентов
понимания того, что есть векторное расслоение.
Теорема Серра-Суона -- возможно, излишество,
но в любом случае половину времени придется
затратить на расслоения.

Третий-четвертый семестр - топология.
Субмерсии, иммерсии, теорема Сарда.
Трансверсальность. Степень отображения
как топологический инвариант.
Когомологии де Рама. Последовательность
Мейера-Виеториса. Сингулярные когомологии.
Инвариантность определения когомологий.
Когомологии с компактным носителем.
Двойственность Пуанкаре. Локально
тривиальные расслоения, гомотопические
группы, точная последовательность
гомотопических групп расслоения.

Четвертый семестр - комплексный анализ.
Контурные интегралы, формула Коши, разложение
аналитических функций в ряд Тэйлора.
Теорема Римана, теорема Пикара, j-инвариант
эллиптической кривой, фуксовы группы, нормальные
семейства отображений.

Пятый семестр - дифференциальная
геометрия и группы Ли. Алгебры Ли. Универсальная
обертывающая алгебра. Формула Кэмпбелла-Хаусдорфа
и соответствие между группами Ли и алгебрами Ли.
Экспонента векторного поля и поток диффеоморфизмов.
Слоения. Теорема Фробениуса. Почти комплексные
структуры и их интегрируемость.

Пятый семестр - УрЧП.
Символ дифференциального оператора,
эллиптические операторы и оператор Лапласе.
Свойства эллиптических операторов (неравенство
Харнака, эллиптическая регулярность, принцип
максимума). Компактные операторы,
фредгольмовы операторы, ядерные операторы,
лемма Соболева, лемма Реллиха, неравенство
Гординга. Фредгольмовость эллиптических
операторов. Применения эллиптических
операторов в топологии (теория Ходжа,
формула Атьи-Зингера).

Пятый семестр - топология.
Характеристические классы, формулы
Гаусса-Бонне и Черна, классифицирующие пространства.

Шестой семестр - алгебраическая геометрия.
Симплектические многообразия, кэлеровы многообразия,
комплексные многообразия, разложение Ходжа.
Лемма Пуанкаре-Дольбо-Гротендика.
Теорема Лефшеца о действии SL(2) на когомологиях,
голоморфные расслоения, связность Черна и ее кривизна,
теорема Кодаиры-Накано о занулении когомологий
и теорема Кодаиры о проективности.

Привет